Math

Le Laplacien

On s’intéresse dans cette section à l'approximation élément fini conforme du problème suivant :

Problème : Formulation forte du Laplacien

On cherche \(u\) telle que

\[ \begin{split} -\Delta u &= f \mbox{ dans } \Omega\\ u &= 0 \mbox{ sur } \partial \Omega \end{split}\]

Cadre Mathématique

On suppose que \(f \in L^2(\Omega)\).

La formulation faible du problème Problème : Formulation forte du Laplacien est la suivante :

Formulation faible pour des conditions de Dirichlet homogènes

On cherche \(u \in H^1_0(\Omega)\) telle que

\[\label{eq:65} \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v = \int_\Omega f\, v,\quad \forall v \in H^1_0(\Omega)\]

Problème bien posé

Introduisons

  • \(V = H^1_0(\Omega)\) doté de la norme \(\|\cdot\|_{1,\Omega}\) telle que \(\|v\|_{1,\Omega} = (\|v\|^2_{0,\Omega} + \|\nabla v\|^2_{0,\Omega})^{1/2}\)

  • la forme bilinéaire \(a \in \mathcal{L}(V \times V, \RR)\) telle que \(a(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \)

  • la forme linéaire \(\ell \in \mathcal{L}(V, \RR)\) telle que \(l(v) = \int_\Omega f \nabla v \)

Le problème Formulation faible pour des conditions de Dirichlet homogènes s’écrit sous forme abstraite

Problème:

On cherche \(u \in V\) telle que

\[ a(u, v) = \ell(v), \quad \forall v \in V\]

L’espace \(V\) est un espace de Hilbert et les formes \(a\) et \(\ell\) sont continues sur \(V\times V\) et \(V\) respectivement.

Il ne reste plus qu’à vérifier si le problème est bien posé (existence d’une solution unique).

Pour cela, on démontre la coercivité de la forme bilinéaire \(a\) sur \(V \equiv H^1_0(\Omega)\).

Ceci se fait grâce au lemme suivant :

Exercise: toto

this is an exercise.

Example: Théorème de Lax-Milgram

this is an example.

Theorem de toto

Soit \(V\) un espace de Hilbert et \(a \in \mathcal{L}(V \times V, \RR)\) une forme bilinéaire continue et coercive sur \(V\). Alors, pour toute forme linéaire continue \(\ell \in \mathcal{L}(V, \RR)\), le problème est bien posé

Corollary de toto

Soit \(V\) un espace de Hilbert et \(a \in \mathcal{L}(V \times V, \RR)\) une forme bilinéaire continue et coercive sur \(V\). Alors, pour toute forme linéaire continue \(\ell \in \mathcal{L}(V, \RR)\), le problème est bien posé

Definition de toto

Une forme bilinéaire \(a \in \mathcal{L}(V \times V, \RR)\) est coercive sur \(V\) s’il existe une constante \(\alpha > 0\).

Lemma

Soit \(\Omega\) un ouvert borné de \(\R{d}\). Il existe une constante \(c_\Omega\) (dépendente de \(\Omega\) telle que

\[ \forall v \in H^1_0(\Omega),\quad \|v\|_{0,\Omega} \le c_\Omega \|\nabla v\|_{0,\Omega}\]
\(c_\Omega\) est homogène à une longueur et peut être interprétée comme une mesure caractéristique de \(\Omega\).

Grâce à l’inégalité de Poincaré, on a le résultat suivant

Proposition

La forme bilinéaire \(a\) du problème Formulation faible pour des conditions de Dirichlet homogènes est coercive

Preuve

On note tout d’abord que par l’inégalité de Poincaré et la définition de \(\|\cdot\|_{1,\Omega}\)

\[ \|v\|^2_{1,\Omega} \le (1 + c^2_\Omega) \|\nabla v\|^2_{0,\Omega}\]

On en déduit que

\[\forall v \in H^1_0(\Omega),\quad a(v,v) = \|\nabla v\|^2_{0,\Omega} \ge \frac{1}{1+c^2_\Omega} \|v\|^2_{1,\Omega}\]

Le Lemme de Lax-Milgram permet alors de conclure sur l’existence d’une solution unique pour le problème Formulation faible pour des conditions de Dirichlet homogènes.