Normes matricielles et normes subordonnées

1. Rappels sur les normes

Définition d’une norme

Soit \(E\) un espace vectoriel. On dit qu’une application \(\|\cdot\|: E \rightarrow \mathbb{R}\) est une norme sur \(E\) si elle vérifie :

caractère défini

\(\forall x \in E,\|x\|=0 \Leftrightarrow x=0\).

homogénéité

\(\forall x \in E\) et \(\lambda \in \mathbb{K},\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|\).

inégalité triangulaire

\(\forall x, y \in E,\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|\).

positivité

\(\forall x \in E,\|x\| \geq 0\).

Définition : Espace vectoriel normé

On dit que \(\left(E,\|\cdot\|_E\right)\) est un espace vectoriel normé.

Rappel de quelques normes usuelles sur \(\mathbb{K}^n\)

On rappelle quelques normes usuelles sur \(\mathbb{K}^n\). Soit \(V=\left(v_j\right)_{1 \leq j \leq n} \in \mathbb{K}^n\), alors

  1. \(\|V\|_{\infty}=\max _{1 \leq j \leq n}\left|v_j\right|\)

  2. \(\|V\|_1=\sum_{j=1}^n\left|v_j\right|\)

  3. \(\|V\|_2=\sqrt{\sum_{j=1}^n\left|v_j\right|^2}\)

  4. \(\|V\|_p=\left(\sum_{j=1}^n\left|v_j\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}, \quad\) avec \(p \in \mathbb{N}^*\).

Rappel

En notant \(<\cdot, \cdot>\) le produit scalaire de \(\mathbb{K}^n\), on a \(\|V\|_2^2=<V, V>\).

2. Normes matricielles

Définition : Norme matricielle

On dit que l’application \(\|\cdot\|: \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{R}\) est une norme matricielle si :

  1. c’est une norme sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\)

  2. \(\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\|A B\| \leq\|A\|\|B\|\) (on dit qu’elle est sous multiplicative).

Proposition : Norme matricielle

Si \(\|\cdot\|\) est une norme matricielle sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), alors \(\left\|I_n\right\| \geq 1\).

3. Normes matricielles subordonnées

Les normes matricielles subordonnées seront aussi appelées des normes matricielles induites.
Définition : Norme matricielle subordonnée

Si \(\|\cdot\|\) est une norme sur \(\mathbb{K}^n\), la norme matricielle subordonnée sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), notée \(\vertiii{\cdot}\), est définie par

\[\vertiii{A}=\sup \left\{\frac{\|A x\|}{\|x\|}, x \in \mathbb{K}^n \backslash\{0\}\right\} .\]

  1. On l’appelle norme matricielle subordonnée ou associée à la norme vectorielle \(\|\cdot\|\).

  2. On l’appelle aussi parfois norme matricielle naturelle, ou encore norme matricielle induite par la norme vectorielle \(\|\cdot\|\).

L’existence de ce sup est assurée par le théorème suivant:

Théorème : Existence du sup

Soient \(\left(E,\|\cdot\|_E\right)\) et \(\left(F,\|\cdot\|_F\right)\), deux espaces vectoriels normés. Pour toute application linéaire \(\mathcal{L}:\left(E,\|\cdot\|_E\right) \rightarrow\left(F,\|\cdot\|_F\right)\), on a équivalence entre :

  1. il existe un point de \(E\) en lequel \(\mathcal{L}\) est continue,

  2. \(\mathcal{L}\) est lipschitzienne sur \(E\) (et donc continue partout)

  3. il existe \(C>0\) tel que \(\forall x \in E,\|\mathcal{L} x\|_F \leq C\|x\|_E\).

Comme l’application linéaire \(x \mapsto A x\) est continue (en 0 par exemple), le sup de la norme subordonnée existe bien.

Proposition

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) on a

\[\begin{aligned} \vertiii{A} & =\sup \left\{\frac{\|A x\|}{\|x\|}, x \in \mathbb{K}^n \text { avec }\|x\| \leq 1\right\} \quad \text { (sur la boule unité fermée) } \\ & =\sup \left\{\|A x\|, x \in \mathbb{K}^n \text { avec }\|x\|=1\right\} \quad \text { (sur le cercle unité fermé) } \end{aligned}\]
Proposition

  1. Si \(\vertiii{\cdot}\) est une norme matricielle subordonnée, alors \(\vertiii{I_n}=1\).

  2. Il existe \(x \in \mathbb{K}^n\) tel que \(\|x\|=1\) et \(\|A x\|=\vertiii{A}\).

  3. Soit \(\lambda \in S p(A)\), alors \(|\lambda| \leq\vertiii{A}\).

Corollary

Les sup précédents sont donc des max (ils sont atteints).

Définition: normes subordonnées aux normes classiques

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on peut définir les normes subordonnées aux normes classiques \(\|\cdot\|_{\infty}\), \(\|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2\) définies plus haut.

  1. \(\vertiii{A}_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n}\left(\sum_{j=1}^n\left|A_{i j}\right|\right)\)

  2. \(\vertiii{A}_1=\max _{1 \leq j \leq n}\left(\sum_{i=1}^n\left|A_{i j}\right|\right)=\vertiii{A^*}_{\infty}\)

  3. \(\vertiii{A}_2=\sqrt{\rho\left(A^* A\right)}=\sqrt{\rho\left(A A^*\right)}=\vertiii{A^*}_2\)

Théorème : normes subordonnées

Soit \(\vertiii{\cdot}\) une norme matricielle subordonnée et soit \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\),

  1. Si \(\vertiii{B}<1\), alors \(\left(I_n+B\right)\) est inversible et \(\vertiii{\left(I_n+B\right)^{-1}} \leq \frac{1}{1-\vertiii{B}}\).

  2. Si une matrice de la forme \(I_n+B\) est singulière alors \(\vertiii{B} \geq 1\).

4. Rayon spectral

Proposition: rayon spectral et norme 2 subordonnée

  1. La norme \(\vertiii{\cdot}_2\) est invariante par transformation unitaire, c’est-à-dire que pour tout \(U \in \mathcal{U}_n(\mathbb{C})\) et pour tout \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), on a

    \[\vertiii{A}_2=\vertiii{A U}_2=\vertiii{U A}_2=\vertiii{U^* A U}_2.\]

  2. Si \(A\) est normale, alors \(\rho(A)=\vertiii{A}_2\).

Théorème: norme et rayon spectral

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\)

  1. Soit \(\|\cdot\|\) une norme matricielle (pas forcément subordonnée) alors \(\rho(A) \leq\|A\|\).

  2. Etant donnés \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et \(\varepsilon>0\), il existe au moins une norme matricielle subordonnée notée \(\vertiii{\cdot}_{\varepsilon, A}\) telle que

    \[\vertiii{A}_{\varepsilon, A} \leq \rho(A)+\varepsilon .\]
Theorème rayon spectral

Soit \(B\) une matrice carrée, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. \(\lim _{k \rightarrow+\infty} B^k=0\)

  2. \(\lim _{k \rightarrow+\infty} B^k x=0\), pour tout \(x \in \mathbb{K}^n\)

  3. \(\rho(B)<1\)

  4. \(\vertiii{B}<1\) pour au moins une norme matricielle subordonnée.

Theorème rayon spectral

Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on a \(\rho(A)=\lim _{k \rightarrow+\infty}\left\|A^k\right\|^{\frac{1}{k}}\) (cette limite ne dépend pas de la norme choisie).