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Les Méthodes multi-pas
Les méthodes multi-pas sont des méthodes qui utilisent plusieurs valeurs précédentes pour calculer la valeur suivante contrairement aux méthodes à un pas qui n’utilisent que la valeur précédente.
Elles sont souvent utilisées pour résoudre des équations différentielles ordinaires. Les méthodes multi-pas sont souvent plus précises que les méthodes à un pas, mais elles sont aussi plus compliquées à implémenter.
Les méthodes multi-pas atteignent un ordre élevé en utilisant plusieurs valeurs \(u_n, u_{n-1}, \ldots\), pour construire \(u_{n+1}\). Ces méthodes sont généralement obtenues à partir de la formule suivante (il suffit d’intégrer le problème sur \(\left[t_n, t_{n+1}\right]\) )
en approchant l’intégrale par une formule de quadrature interpolatrice appropriée.
- Adams-Bashforth d’ordre 2
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Si on remplace \(f\) dans l’équation par son polynôme d’interpolation de degré \(1\) \(\Pi_1 f\) aux noeuds \(t_{n-1}, t_n\) on obtient la méthode (à 2 pas explicite) d’Adams-Bashforth d’ordre 2 (AB2) :
\[u_{n+1}=u_n+\frac{h}{2}\left[3 f_n-f_{n-1}\right] .\] - Adams-Bashforth d’ordre 3
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Si on remplace \(f\) dans l’équation par son polynôme d’interpolation de degré \(2\) \(\Pi_2 f\) aux noeuds \(t_{n-2}, t_{n-1}, t_n\) on obtient la méthode (à 3 pas explicite) d’Adams-Bashforth d’ordre 3 (AB3):
\[u_{n+1}=u_n+\frac{h}{12}\left[23 f_n-16 f_{n-1}+5 f_{n-2}\right] .\]Cette méthode est illustré ci-après.
- Adams-Moulton d’ordre 3
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En remplaçant \(f\) dans l’équation par son polynôme d’interpolation de degré \(2\) \(\Pi_2 f\) aux noeuds \(t_{n-1}, t_n, t_{n+1}\), on obtient la méthode (à 2 pas implicite) d’Adams-Moulton d’ordre 3 (AM3)
\[u_{n+1}=u_n+\frac{h}{12}\left[5 f_{n+1}+8 f_n-f_{n-1}\right] .\]Cette méthode est illustré ci-après
- Adams-Moulton d’ordre 4
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En remplaçant \(f\) dans l’équation par son polynôme d’interpolation de degré \(3\) \(\Pi_3 f\) aux noeuds \(t_{n-2}, t_{n-1}, t_n, t_{n+1}\), on obtient la méthode (à 3 pas implicite) d’Adams-Moulton d’ordre 4 (AM4)
1. Backward Differences
Une autre famille de méthodes multi-pas peut être conçue en écrivant l’équation en \(t_{n+1}\) et en remplaçant \(y^{\prime}\left(t_{n+1}\right)\) par un quotient incremental d’ordre élevé. En particulier, on peut dériver ainsi la méthode BDF (Backward Difference Formula) implicite d’ordre 3 suivante :