Les Méthodes multi-pas

Les méthodes multi-pas sont des méthodes qui utilisent plusieurs valeurs précédentes pour calculer la valeur suivante contrairement aux méthodes à un pas qui n’utilisent que la valeur précédente.

Elles sont souvent utilisées pour résoudre des équations différentielles ordinaires. Les méthodes multi-pas sont souvent plus précises que les méthodes à un pas, mais elles sont aussi plus compliquées à implémenter.

Les méthodes multi-pas atteignent un ordre élevé en utilisant plusieurs valeurs $u_n, u_{n-1}, \ldots$ , pour construire $u_{n+1}$ . Ces méthodes sont généralement obtenues à partir de la formule suivante (il suffit d’intégrer le problème sur $\left[t_n, t_{n+1}\right]$ )

$y_{n+1}=y_n+\int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, y(t)) d t,$

en approchant l’intégrale par une formule de quadrature interpolatrice appropriée.

Adams-Bashforth d’ordre 2: Si on remplace $f$ dans l’équation par son polynôme d’interpolation de degré $1$ $\Pi_1 f$ aux noeuds $t_{n-1}, t_n$ on obtient la méthode (à 2 pas explicite) d’Adams-Bashforth d’ordre 2 (AB2) :

$u_{n+1}=u_n+\frac{h}{2}\left[3 f_n-f_{n-1}\right] .$
Adams-Bashforth d’ordre 3: Si on remplace $f$ dans l’équation par son polynôme d’interpolation de degré $2$ $\Pi_2 f$ aux noeuds $t_{n-2}, t_{n-1}, t_n$ on obtient la méthode (à 3 pas explicite) d’Adams-Bashforth d’ordre 3 (AB3):

$u_{n+1}=u_n+\frac{h}{12}\left[23 f_n-16 f_{n-1}+5 f_{n-2}\right] .$

Cette méthode est illustré ci-après.
Adams-Moulton d’ordre 3: En remplaçant $f$ dans l’équation par son polynôme d’interpolation de degré $2$ $\Pi_2 f$ aux noeuds $t_{n-1}, t_n, t_{n+1}$ , on obtient la méthode (à 2 pas implicite) d’Adams-Moulton d’ordre 3 (AM3)

$u_{n+1}=u_n+\frac{h}{12}\left[5 f_{n+1}+8 f_n-f_{n-1}\right] .$

Cette méthode est illustré ci-après
Adams-Moulton d’ordre 4: En remplaçant $f$ dans l’équation par son polynôme d’interpolation de degré $3$ $\Pi_3 f$ aux noeuds $t_{n-2}, t_{n-1}, t_n, t_{n+1}$ , on obtient la méthode (à 3 pas implicite) d’Adams-Moulton d’ordre 4 (AM4)

$u_{n+1}=u_n+\frac{h}{24}\left[9 f_{n+1}+19 f_n-5 f_{n-1}+f_{n-2}\right] .$

1. Backward Differences

Une autre famille de méthodes multi-pas peut être conçue en écrivant l’équation en $t_{n+1}$ et en remplaçant $y^{\prime}\left(t_{n+1}\right)$ par un quotient incremental d’ordre élevé. En particulier, on peut dériver ainsi la méthode BDF (Backward Difference Formula) implicite d’ordre 3 suivante :

$u_{n+1}=\frac{18}{11} u_n-\frac{9}{11} u_{n-1}+\frac{2}{11} u_{n-2}+\frac{6 h}{11} f_{n+1}$