Intégration numérique

1. Introduction

L’intégration est un des problèmes les plus importants que l’on rencontre en analyse.

Objectif

Etant donnée une fonction \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\), on veut calculer la quantité

\[I(f) = \int_a^b f(x) dx.\]

Les applications sont nombreuses, par exemple en physique, en économie, en biologie, en finance, etc.

2. Exemples

Nous pouvons faire le lien avec le cours de Calcul Différentiel et Intégral.

Exemples: probabilité, calcul différentiel et intégral

probabilité: si \(f\) est une densité de probabilité, alors \(I(f)\) est la probabilité que la variable aléatoire associée à \(f\) prenne une valeur dans l’intervalle \([a,b]\).
aire sous une courbe: si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors \(I(f)\) existe et \(I(f)\) est la surface sous la courbe de \(f\) entre les droites d’équation \(x=a\) et \(x=b\).
longueur d’une courbe: si \(f\) est dérivable sur \([a,b]\), alors \(I(f)\) est la longueur de la courbe d’équation \(y=f(x)\) entre les droites d’équation \(x=a\) et \(x=b\). En effet, la paramétrisation de la courbe \(C\) est donnée par \(\mathbf{c}(x)=(x,f(x))\), et la longueur de la courbe \(C\) est donnée par

\[I(f) = \int_C dx = \int_a^b \|c'(x)\| dx = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} dx.\]
valeur moyenne: si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors la valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) est donnée par

\[\overline{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx.\]
valeur moyenne in dimension \(d\): si \(f\) est continue sur \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\), alors la valeur moyenne de \(f\) sur \(\Omega\) est donnée par

\[\overline{f} = \frac{1}{\text{Vol}(\Omega)} \int_{\Omega} f(x) dx\]
moment d’inertie: si \(f\) est une densité de masse, alors le moment d’inertie par rapport à l’axe des x est donné par

\[I(f) = \int_a^b f(x) x^2 dx.\]
centre de masse: si \(f\) est une densité de masse, alors le centre de masse est donné par

\[\overline{x} = \frac{1}{I(f)} \int_a^b f(x) x dx.\]
moment: si \(f\) est une densité de masse, alors le moment par rapport à l’axe des x est donné par

\[M(f) = \int_a^b f(x) x dx.\]
flux vectoriel: si \(f\) est un champ vectoriel, alors le flux à travers la surface \(C\) est donné par

\[\Phi(f) = \int_C f(x) \cdot n ds,\]

où \(n\) est la normale à la courbe \(C\) et \(ds\) est l’élément de longueur de la courbe \(C\).

Être capable de calculer des intégrales est donc un outil essentiel pour calculer des quantités importantes dans de nombreux domaines.

On pourra étendre ces méthodes pour calculer des intégrales doubles ou triples.

Exemple: aire d’une surface

Si \(f(x,y)\) est une fonction continue sur un domaine \(D=[a,b]\times[c,d]\) de \(\mathbb{R}^2\), alors \(I(f)\) est l’aire de la surface définie par \(z=f(x,y)\) sur \(D\).

On a

\[I(f) = \iint_D f(x,y) dA = \int_{x=a}^{x=b} \int_{y=c}^{y=d} f(x,y) dy dx.\]

Outre les exemples de la section précédente, on rencontre souvent des intégrales dont le calcul par des méthodes analytiques est très compliqué ou même impossible, car il n’existe pas d’expression analytique de la primitive de la fonction à intégrer. Voici quelques exemples:

\[\int_0^1 e^{-x^2} \, dx, \qquad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\cos^2 x} \, dx, \qquad \int_0^1 \cos x^2 \, dx.\]

Dans ces cas, on peut appliquer des méthodes numériques pour évaluer la valeur de l’intégrale donnée.

Exemple 1: Hauteur

Si on considère une très grande population de \(M\) individus et on mesure la hauteur de chaque sujet, la distribution \(N(h)\) de ces donnés (telle que le nombre \(\Delta N\) d’individus avec hauteur comprise entre \(h\) et \(h + \Delta h\) soit \(N(h)\Delta h\)) peut être représentée par une fonction “cloche”, définie par sa valeur moyenne \(\overline{h}\) et sa déviation standard \(\sigma\):

\[N(h) = \frac{M}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left( - \frac{(h - \overline{h})^2}{2\sigma^2}\right).\]

Ici \(N\) est une densité de probabilité, et on peut calculer la probabilité que la hauteur d’un individu soit dans un certain intervalle en utilisant des méthodes numériques pour évaluer des intégrales.

Par exemple, dans le cas de la figure suivante (\(M = 100\) individus, \(\overline{h}=1.7\) mètres, \(\sigma = 0.1\) mètres), l’aire rouge représente le nombre d’individus qui ont une hauteur \(h\) comprise entre \(1.8\) et \(1.9\) mètres.